En la película de 1995 Toy Story, de Pixar, el juguete espacial Buzz Lightyear repite incansablemente su frase publicitaria: “Al infinito… ¡y más allá!” La broma, por supuesto radica en la suposición, perfectamente razonable, de que el infinito es un absoluto insuperable – es decir, que no hay un más allá.
Este supuesto, sin embargo, no es enteramente un sinsentido. Tal y como demostró el matemático alemán Georg Cantor a finales del siglo XIX, existen varias clases de infinitos – y unos, simplemente, son mayores que otros.
Tomemos, por ejemplo, a los así llamados números naturales: 1, 2, 3 y así sucesivamente. Estos números son ilimitados, de modo que el grupo, o conjunto, de todos los números naturales es infinito. ¿Pero cómo de infinito? Cantor empleó un argumento elegante para demostrar que los naturales, aunque infinitamente numerosos, son en realidad menos numerosos que otra familia común de números, los “reales”. (Este conjunto comprende a todos los números que pueden representarse como un decimal, incluso si la representación de ese decimal es infinitamente larga. Por ello, el 27 es un número real, lo mismo que ?, o 3.14159…).
De hecho, Cantor demostró que existen más números reales empaquetados entre el cero y el uno que el rango completo de los números naturales. Logró hacerlo mediante una contradicción lógica – o reducción al absurdo: asumió que estos conjuntos infinitos tenían el mismo tamaño, y luego realizó una serie de pasos lógicos para encontrar un defecto que trastocase esta suposición. Razonó que si los naturales y su subconjunto de reales del cero al uno, tuviesen un número igual e infinito de miembros, podría establecerse entre ambos conjuntos una relación de uno a uno. Es decir, que los dos conjuntos se podrían emparejar de modo que cada elemento de un conjunto tendría un – y solamente un – “socio” en el otro conjunto.
Pensad en ello de este modo: incluso en ausencia de un conteo numérico, las correspondencias numéricas de uno a uno pueden emplearse para medir los tamaños relativos. Imaginaos dos cajas, una con manzanas y otra con naranjas. Extrayendo una manzana y una naranja simultáneamente a cada movimiento, si los contenidos de ambas se acaban a la vez, el número de frutas en cada caja es igual; si las frutas de una caja se acaban antes, significa que en la otra caja el número de frutas es mayor.
Por esto, Cantor asumió que los naturales y los reales entre el uno el cero estaban en esta clase de correspondencia. Cada número natural n, tenía por tanto un socio real rn. Luego los reales podían listarse en el orden de su correspondiente natural: r1, r2, r3 y así sucesivamente.
Después Cantor comenzó a mostrar su lado astuto. Creó un número real, llamado p, mediante la siguiente regla: hágase un número ubicado n puestos detrás del punto decimal en p, tal que sea distinto al número en esa misma posición decimal en rn. Un simple método binario sería: elíjase 0 cuando el dígito en cuestión es 1; de otro modo elíjase el 1.
Por razones de demostración, digamos que el número real (r1) emparejado al número natural 1 es la componente decimal de ? (0,14159…), el (r2) emparejado al 2 es la parte decimal del porcentaje de votos recibida por Bush en el 2000 (0.47868…), y el (r3) asociado al 3 es el famoso porcentaje de 400 bateos conseguido por Ted Williams desde 1941 (0.40570…).
Ahora vamos a crear el p siguiendo la regla de construcción de Cantor: el número de la primera posición decimal no debería ser igual al existente en la primera posición decimal de r1, que es 1. De este modo elegimos el 0, y p comienza así 0,0… Luego elegimos el número en la segunda posición decimal de p, que no podrá ser igual al de la segunda posición decimal de r2, que es 7 (elegimos el 1 y p = 0,01…). Finalmente, elegimos el dígito en tercer posición decimal de p de modo que no sea igual a la correspondiente posición decimal de r3, que es 5 (elegimos de nuevo 1; p= 0,011…)
Continuando hacia abajo con la lista, este método matemático (llamado “diagonalización”) genera un número p entre cero y uno, que por su construcción difiere de todos y cada uno de los números reales de la lista en, al menos, una posición decimal. Ergo, no puede pertenecer a la lista.
En otras palabras, p es un número real sin un socio natural – una manzana sin su naranja. Por ello, la correspondencia uno a uno entre los reales y los naturales falla, ya que simplemente hay demasiados reales – “son incontablemente” más numerosos – lo cual hace de algún modo que el infinito de los reales sea mayor que el infinito de los naturales.
“La idea de que algo pudiera ser ‘más grande que el infinito’ supuso realmente un logro”, comenta Stanley Burris, profesor emérito de matemáticas en la Universidad de Waterloo en Ontario. “Teníamos el principio aritmético, pero a nadie se le había ocurrido hacer una clasificación interna del infinito; antes de eso simplemente pensábamos en él como un único objeto”.
El matemático Joseph Mileti, del Darmouth College añade: “Cuando oí hablar por primera vez acerca de este resultado y finalmente pude verlo, definitivamente fue algo que golpeó mis sentidos. Es uno de esos resultados cortos, dulces, y realmente sorprendentes”.
Traducido de Strange but True: Infinity Comes in Different Sizes (Scientific American).
Más información (en castellano) sobre la demostración de Cantor por diagonalización aquí.
Barrapunto
Facebook
Flickr
Twitter
53 Comentarios
Hombre, eso ya lo sabíamos nosotros desde el parvulario, cuando nos enredábamos con los amiguetes en esa larga que empezaba con “y tú más” y acababa con el aliento del contendiente al que le tocaba llegar al “y tu mil millones de millones de millones de infinitos y uno más”.
Por cierto, mi infinito es más infinito que el tuyo…
– Wayfarer
Para nota: Los números racionales son, por supuesto, infinitos, pero ¿infinitos como los reales o infinitos como los naturales? (no vale mirar la wikipedia).
Por cierto, hay una leyenda urbana que dice que se volvió loco intentando demostrar si entre estos dos infinitos había algún infinito intermedio (más grande que el infinito de los enteros y más pequeño que el de los reales), pero la wikipedia lo achaca a diversas causas.
Todo muy Borgiano, me recuerda “al Aleph”:
http://www.apocatastasis.com/aleph-borges.php
De hecho, la cardinalidad del conjunto de los naturales es Aleph 0, mientras que la cardinalidad del conjunto de los reales es Aleph 1
pues a mí no me convence… creo que comprendo lo que se plantea en el texto, pero yo lo veo así: infinito es que no tiene fin, y bajo esta definición no se pueden plantear grados de intensidad, no pueden haber unos infinitos más grandes que otros, infinito se es o no se es… vaya rallada.
Estaba yo echando aquí una cervecilla en la terraza y leyendo este artículo. Y me surge una pregunta… ¿qué me decís de 2^{/Aleph_0}?
¿Además del término “contable” e “incontable” alguien me puede decir algo de los términos “numerable” y “no numerable”?
Pareces Borgiano, también me recuerda Aleph. jejejeje.
No me ha quedado muy claro a que se refiere el texto, a lo mejor soy demasiado estupido para entenderlo. No le veo el sentido a asociar numeros naturales con los reales, por ejemplo entre 0 y 10 esta claro que hay mas numeros reales (infinitos, pero siempre se puede escalar los numeros naturales hacia arriba (de eso se trata el infinito no?)
Otro tema es que quiza el infinito exista solo como una idea generada en nuestros cerebros y que realmente no exista pero q importa eso. si alguien me puede aclarar de q coño estais hablando se lo agradeceria.
Muy interesante el artículo, lleno de lógica, directo, en fin, como debe ser, llegamos a una conclusión en principio sencilla pero que no se había planteado resolverla
Me quedado zombie. A ver, no se si lo he pillao, la idea seria comparar una botella 1 litro de fairy normal y una botella de 1 litro de fairy concentrado.
Hacemos la similitud “1 litro”=infinito
Pero en el concentrado logicamente hay mas espuma, aunque ambos son “un litro = infinito” y por 1 gota de normal hay 1 gota de concentrado.
Yo lo veo asi.
“Se puede escalar los numeros naturales hacia arriba”, pero para ellos ya existe su pareja real. No puedes conseguir un natural que no tenga su compañero real, pero al revés sí. Es así de sencillo: tienes infinitos naturales (que son ladrones) y para cada uno un real (policías). La idea es que aunque haya infinitos ladrones, todos tienen un policía al lado, mientras que sí puedes encontrar polícias sin ladrón.
Ya había oído algo así antes, pero la exposición en este post es sencillamente genial. Gracias por el rato de reflexión. Y por cierto que a los que han comentado no entenderlo, les animo a que lo relean más despacio antes de entrar en discusiones interminables (que no infinitas).
Me has evocado el recuerdo de mis primeras lecciones en la Facultad de Matemáticas, cuando la profa de Topologia nos hizo esta misma demostración … a mi me emocionó conocer esta verdad, y hoy en dia, que soy matemático y profesor de matemáticas, juego con ella para bromear y hacer ver a algún profano que hay unas matemáticas más allá de lo doméstico que son difíciles de imaginar.
Ciertamente, es uno de los resultados mas extraños y bonitos de las matemáticas, que contradice al sentido común, y que se relaciona con algunas de las cuestiones más apasionantes de esta disciplina, como la hipótesis del contínuo y los teoremas de Incompletitud de Gödel.
Y que contrariamente a lo que piensen yastarabe o Alatriste, es un resultado que se enseña en el primer curso de cualquier facultad de ciencias y es tan cierto como que 1+1=2. La demostración la teneis en el post …
Está haciendo una biyección entre dos conjuntos para comparar su tamaño, eso está en un libro que tengo por acá: “Teoría de autómatas y lenguajes formales” por si alguien le quiere echar un vistazo. Creía que eso se daba también en informática, en “matemática discreta”.
“infinito se es o no se es… vaya rallada.”
Pues no, por ejemplo, al menos en cálculo de primero de teleco, estudias series y convergencia, y unos infinitos tirán más que otros por lo que un infinito entre otro puede darte cero.
Y no es ninguna rallada, esto no es “el tomate”.
Soy bastante lego en la materia así que no sirvo para discutir sobre este tema, y a lo mejor hay alguna mentirijilla por ahí camuflada
que se me escapa, pero es interesante el post.
Un saludo.
Absurdo
.
Buscando en razón
fundamentos del ser,
tormentas oscuras
mareas de viento,
llegan, arrastran,
sin huella
no se puede vivir.
.
Vida encadenada
muerte en libertad,
encadenad a la muerte
a la vida libertad.
.
Incógnita eternizada
prisión de la verdad,
descifrar un pasado
un futuro revelar,
Se levantan fundamentos,
duramente se alcanzan,
contrariamente se derrumban.
.
Locuaz pensamiento
estupida mirada
sufrir y callar
.
Mas vencida el alma
lloran los sentidos,
tratan las conciencias
de saltar inhumanos errores.
Mujeres y hombres
contra existencia
en lucha desigual
.
Vida encadenada
muerte en libertad,
encadenad a la muerte
a la vida libertad.
.
Si el infinito existiera
el finito desaparecerá,
siendo la nada infinita
al no poderla abarcar.
Dios: terrible asesino.
Nada: Terror sin habla.
Eternidad: retorno sin causa.
.
Locuaz pensamiento
estupida mirada
¿Sufrir y callar?
.
Vida encadenada
muerte en libertad,
encadenad a la muerte
a la vida libertad.
Locuaz pensamiento
estupida mirada.
Callar y sufrir
absurdo.
..
Ormux
A ver, para los que crean que todos los infinitos por serlo son del mismo “tamaño”:
Imaginad dos cajas, en una estan todos los números naturales {0,1,2,3,4,5….} y en otra todos los números naturales pero solo los pares: {2,4,6,8,…}. Las dos cajas contienen un número infinito de elementos pero intuitivamente sabemos que una continene el doble de elmentos que el otro, ya que por cada numero par hay tambien uno impar. Es decir, las dos cajas contienen infinitos elementos aunque en una hay el doble que en el otro. Y si, a mi también me parece paradójico
Para Sergio…
Efectivamente, se da informática, en matemática discreta, en un apartado llamado Cardinales Transfinitos. Sin embargo, te voy a hacer una corrección, si me permites
…
El tema de la convergencia no es lo mismo que lo de los cardinales transfinitos… Cuando se calculan límites no es ‘infinito entre infinito’, sino ‘algo que tiende a infinito entre algo que tiende a infinito’. La diferencia es importante… Se ve en el caso del ‘0′: 0 entre 0 no existe, pero ‘algo que tiende a 0′ entre ‘algo que tiende a 0′ sí que existe… Puede ser desde 0 hasta infinito, según la fuerza de los elementos que participan.
no le veo una gran trascendencia a todo el asunto, es más, parece hasta obvio que el cardinal dl conjunto de nºs naturales sera mucho menor que el cardinal de los nºs reales, partiendo directamente de la base de que entre dos nºs naturales existen infinitos nºs reales…
En efecto la afirmación de que hay más R que N es intuitiva, pero lo interesante del artículo es hablar de la ingeniosa manera que Cantor tuvo de probarlo matemáticamente. Me pareció sencillo y elegante, y de ahí que me decidiera a hablar de ello.
selrak, resulta que los dos conjuntos que expones son infinitos del mismo tamaño. Se puede establecer una correspondencia sencilla, de modo que a cada elemento de un conjunto le corresponde uno (y sólo uno) del otro y viceversa, con lo que se demuestra que hay el mismo número de elementos en ambos conjuntos. En ambos casos hay Aleph 0 elementos. A pesar de que resulte contrario a la intuición…
VAmos que el infinito es finito en realidad no?
Me sigue pareciendo un mal uso del lenguaje, y que no tiene ninguna importancia y no es nada “asombroso”. Esto tiene validez cuando se calculan limites o necesitas saber cuan rapido crece algo hacia el infinito, pero no que haya un infinito mayor que otro lo cual es absurdo. El tema de que para un numero natural haya un compañero numero real y que a la inversa no sucede, es porque para una cifra dada siempre va a haber limitados numeros naturales cuando los reales son infinitos. Entre el 0 y el 1 hay infinitos numeros reales, y entre el 0 y el 2 hay ¿(2x) infinitos numeros reales? NO. Esto tiene importancia en el calculo de limites pero no puedes afirmar algo tan estupido como eso. Por ejemplo dividimos en partes cada vez mas pequeñas, entre el 0 y el 2 habra siempre el doble de numeros reales que entre el 0 y 1. Pero cuando se divide en infinitas partes no se puede decir 2x infinitos porque las operaciones matematicas pierden su funcion.
La cantida de naturales y la cantidad de naturales pares es la misma. Si puedo formar parejas (manzana ynaranja) ya esta, o dicho de otra manera, si dado un elemento de conjunto puedo hallar uno y solo uno del otro que es su pareja. Para los naturales pares es facil, o multiplico por dos o divido entre dos. Con esas dos formulas, siempre puedo encontrar el correspondiente en un conjunto dado un elemento del otro. Si no, encuentren uno para el que no se pueda encontrar el correspondiente, tal como hizo Cantor.
Mmmm… que bueno pensar… pero yo también opino que infinito es una única medida, lo que se demuestra matemáticamente en el ejemplo es simplemente (creo) que un infinito contiene a otro, lo cual es perfectamente lógico si pensamos que todo grupo infinito se contiene a si mismo y a cualquier grupo. Es como si recorrieramos infinitamente el Ecuador y un Trópico, y pretendieramos decir que el viaje por el Ecuador fué más largo…
Estoy de acuerdo con los que afirman que no puede haver infinitos mas grandes que otros. Pero se que no es mas que una opinion de alguien ignorante del tema.
Creo que comparar 2 cantidades (o tamaños) solo se puede hacer desde una perspectiva que limite tales cantidades si no perdemos la nocion de lo que ya decimos. Que un infinito sea mas denso no tiene porque significar que uno sea mayor que otro, porque ya dejaria de ser infinito.
Aunque no miento que la otra perspectiva tiene su punto y a veces me hace dudar, pero de seguida se me disipa la duda.
En mi humilde opinion, el termino infinito no es mas que una abstraccion, y si no lo es, seguramente queda fuera de nuestras posibiliades manejarlo objetivamente, o en otras palabras, llevar a cabo semejantes razonamientos siempre dara unas conclusiones, excluyentes quiza, pero no por eso una mas valida que la otra.
Por lo tanto, nadie tiene razon, y sin embargo todos la tienen, contentos?
Hola, creo que el problema real estriba en la compresión del infinito.
Cantor asume que esta lista de números es finita.
Vamos a suponer que tenemos una lista infinita de números. Si por medio de diagonalización obtenemos un número nuevo, entonces éste debe tener una longitud infinita o igual al último número de la lista (en caso de considerarla finita, como Cantor) Sin embargo esto no restringe que dentro de la lista ya se encuentre el número encontrado.
Hay que revisar el concepto de infinito, que a mí tampoco me convence del todo.
Yo creo que lo que hay que tener claro es que lo se entiende por infinito. Es un concepto de algo en su maxima expresion, que no tiene fin, ya sea el tiempo, el espacio o la salazon del mar. Que exista o no, no lo se, desde luego no soy capaz de imaginarlo. Al igual que la nada, no soy capaz de imaginar en algo q no sea nada xD (vaya ida de olla). Lo de Cantor me parece una memez y que no tiene nada que ver con el infinito. Genial la metafora de WylliG. ¿Quien recorre mas distancia, uno que da vueltas alrededor del ecuador infinitamente, o yo rodeando los polos tb hasta el infito y mas alla?
Es tan fácil como darse cuenta que el infinito no sólo es hacia fuera, sino hacia dentro. Tal vez no hable de matemáticas ni sepa mucho sobre la materia como otras personas, pero al principio se creía que era el átomo el bloque base de todo lo que se conocía, luego se dieron cuenta que estaba formado por partículas, luego, que esas partículas estaban formadas por otras más pequeñas y así…
El infinito, pues, no es unidireccional, sino que es uno y muchos a la vez, pues está interconectado. Vaya, estoy viajándome, pero no estoy muy lejos.
Dialéctica.
Me ha recordado a la explicación que me dió un profesor de mates sobre qué tenía más puntos: una recta o una circumferencia.
El número de puntos en ambos es infinito, sin embargo la circumferencia tiene siempre 1 más. También demostró haciendo correspondencias, aunque no de una manera poco rigurosa.
Me pareció bastante curioso
joer que de faltas: circunferencia con n, y la penúltima frase debería ser así: “También lo demostró haciendo correspondencias, aunque de una manera poco rigurosa”
Pues estais muy equivocados los que escribis los últimos comentarios.
El concepto de infinito está muy claro en matemáticas, es absolutamente firme y no necesita ninguna revisión tal como se entiende ahora (*)
De hecho, el ejemplo de los números naturales conteniendo a los pares sirve para explicar lo que se entiende por infinito en matemáticas: un conjunto tiene infinitos elementos cuando se puede poner en correspondencia con un subconjunto propio de él (subconjunto propio es aquel que está contenido en el conjunto de partida pero es más pequeño que él). Podemos poner en correspondencia biunívoca los naturales y los pares: a cada n natural le asocio 2*n que es par. Así tenemos que los pares son subconjunto propio de los naturales (¡son la mitad!), pero al poder ponerlos en correspondencia, son tambien la misma cantidad. Esto solo puede ocurrir (por definición) cuando el conjunto es infinito.
El mismo ejemplo ocurre en el caso de los reales situados entre 0 y 1 y el conjunto situado entre 0 y 2. Pero en estos casos probaríamos que ambos conjuntos son infinitos … pero no cuan infinitos son entre ellos.
En el artículo se prueba que hay conjuntos infinitos que no pueden ser puestos en correspondencia entre si, de lo que se deduce que ambos infinitos son de distinta “categoría”, y por lo tanto unos infinitos son “infinitamente” más grandes que otros. Es el caso de los números reales y los naturales, o el equivalente de los números entre 0 y 1 y los naturales. La demostración no es evidente para alguien no habituado al razonamiento estrictamente lógico (lo siento, pero es así) y las buenas explicaciones de nuestro anfitrión Maikelnai no son suficientes para hacer ver este resultado.
Maikelnai, te sugiero, si deseas mejorar aún más la comprensión de estes conceptos, que añadas algún dibujo y esquema al texto.
Y repito, esto es tan cierto como que 1+1=2.
(*) EMHO, la definición de infinito puede que deba ser revisada a la hora de afrontar el problema de la hipótesis del contínuo.
Minhato, no se que definicion le habran dado al termino ‘infinito’ los matematicos mas recientes, pero etimologicamente infinito no es mas que in (no) – finito (fin), es decir, que no tiene fin.
Cito tus palabras: un conjunto tiene infinitos elementos cuando se puede poner en correspondencia con un subconjunto propio de él
Seguramente estamos hablando de dos cosas distintas bajo un mismo nombre (de un concepto equivoco, en otras palabras). Bajo mi postura, no creo que haya la menor duda de que no puede haber infinitos mas grandes que otros, es que simplemente no se puede!
ES muy simple, una cantidad es infinita o no lo es… no un poco mas infinita, o infinitamente mas infinita, no tiene sentido!
El tema esque una cantidad dada nunca puede ser infinita como dice Pol. El infinito es simplemente un concepto inalcanzable, interminable de una maxima a la que no se puede llegar.
La demostración es estrictamente correcta, y precisamente lo maravilloso de ella es que rompe la “traba mental” de pensar que “una cantidad es infinita o no lo es, y lo demás no tiene sentido”.
En matemáticas el infinito se define desde la teoría de conjuntos, y es más o menos así: “Un conjunto es infinito cuando puede existir una relación biunívoca entre éste y un subconjunto propio de él”. Y claro, solo lo pueden cumplir los conjuntos que no tienen fin, tal y como la definición etimológica de “infinito” dice.
Germán se equivoca por completo. Cantor no asume en lo absoluto que la lista es finita, y el método de diagonalización IMPLICA que el número real generado no está en la lista. Precisamente eso es lo fuerte de la demostración. Demuestra que puede existir un número real que no puede ser asociado a ningún “natural” porque ya “se usaron todos”.
Tampoco tiene que ver con “densidad” como dice Pol. Tal y como se explicó. El conjunto de los números pares es menos denso que el de los números naturales, y a pesar de ello, ambos conjuntos poseen la misma cardinalidad, el mismo “número” de elementos. (En realidad es incorrecto decir que tienen el mismo “número” porque es infinito).
Javier, tu estas mas enterado del tema al parecer pero creo que nuestra divergencia se halla en la siguiente cita tuya:
“puede existir un número real que no puede ser asociado a ningún “natural” porque ya “se usaron todos”.”
A eso me refiero.
¿Acaso se pueden “usar todos” los numeros de un conjunto infinito que no sea limitando la cantidad? ¿Acaso se pueden llegar a gastar todos los numeros de un conjunto infinito?
Creo que cuando llegais justo a este punto perdeis la nocion de lo que significa infinito.
Pero claro, los que no usamos palabras como “biunívoca” o “biyección”, somos los que tenemos una “traba mental”.
El tema esque los numeros REALES contienen 2 tipos de infinito a la vez, pero no que su infinito sea mayor lo cual es estupido. Tambien es completamente logico que este conjunto comprenda los numeros naturales y otros numeros que no son naturales (su misma definicion lo dice, comprende naturales, enteros y decimales(irracionales)!!!!). Pero no me vale lo de “en matematicas infinito es blabla” porque a lo mejor habria que revisarlo. El 1º infinito refiere a una maxima cantidad siempre superable, inalcanzable, es el infinito de la cantidad o tamaño(tengo 2 pelotas, tengo 3, etc) que es el mismo de los naturales . El 2º infinito refiere a la minima cantidad posible cuyo limite es el 0, es el infinito de lo minimo o de la exactitud. Es exclusivo de los numeros REALES, porque incluye la idea de que la unidad no es el minimo tamaño posible y que puede ser infinitamente pequeña. (dejamos de momento los numeros enteros, negativos). !!Por eso cuando cogemos un intervalo cualquiera, por pequeño que sea, existen limitados numeros naturales e ilimitados numeros REALES!! pero no podemos limitar los naturales a un intervalo, porque son un conjunto y son infinitos!!!! LOS 2 CONJUNTOS SON INFINITOS, Y EL INFINITO NO TIENE GRADOS NI DISTINTOS TAMAÑOS
Otra cosa que olvidaba, igualmente que limitamos los naturales cogiendo un intervalo cualquiera. Tambien se pueden limitar los reales eligiendo la cantidad maxima de decimales. Javier G.C, seguramente sabes mas matematicas que yo, la verdad esque no me interesan, prefiero otras cosas, pero no olvides de donde salen las matematicas, de la razon humana, no te cierres y razona tu opinion.
me agrado el texto y me hizo pensaar XD
aunq = concuerdo q el infinito es infinito y buscarle la 5º pata al gato…:S para q :S
en fin…!
cada loko con su tema…
asi somos los cientificos no mas ajaaj
Me guistó el concepto de densidad de un conjunto… me hizo acordarme de mis primeros días en la universidad y mis amigos N Z Q R C y demases (léanse todos con doble línea a la izquierda
)
Me parece razonable que en infinito real sea más denso que el natural, ya que por cada elemento en N hay infinitos en R pero eso no indica que un infinito sea mayor que el otro.
Alatriste… ten cuidado de no caer en la singularidad de pensar en los números reales en simplemente una representación en 32 o 64 bits (vaya conjunto finito!)
saludos!
PD: la solución es x = | 1/0 + 0/0 | ajajajaj
Se las ingenió bién para llegar a demostrar lo que suponía.
Saludos.
propongo sustituir el concepto INFINITO por el de FINAL INDEFINIDO o INDEFINITO jeje. Creo que con esta modificacíón, si que se puede decir por ejemplo que el conjunto de los numeros pares es INDEFINITO pero menor al conjuto de todos los números naturales, tambien INDEFINITO. Y tambien que el conjunto de los numeros reales es mas INDEFINITO que el de los naturales. No se si me explico bien, pero pienso que decir, por ejemplo, que el conjunto de los Numeros Naturales es de Tamaño Indefinido es mas entendible y se ajusta mucho mejor a la realidad que suponer que dicho Tamaño es Infinitamente grande, pues nadie nunca ha podido demostrar tal cosa. (nadie ni nada se ha puesto a contar del cero al infinito y no ha muerto en el intento, jeje)