Extraño pero cierto: el infinito tiene varios tamaños

En la película de 1995 Toy Story, de Pixar, el juguete espacial Buzz Lightyear repite incansablemente su frase publicitaria: “Al infinito… ¡y más allá!” La broma, por supuesto radica en la suposición, perfectamente razonable, de que el infinito es un absoluto insuperable – es decir, que no hay un más allá.

Este supuesto, sin embargo, no es enteramente un sinsentido. Tal y como demostró el matemático alemán Georg Cantor a finales del siglo XIX, existen varias clases de infinitos – y unos, simplemente, son mayores que otros.

Tomemos, por ejemplo, a los así llamados números naturales: 1, 2, 3 y así sucesivamente. Estos números son ilimitados, de modo que el grupo, o conjunto, de todos los números naturales es infinito. ¿Pero cómo de infinito? Cantor empleó un argumento elegante para demostrar que los naturales, aunque infinitamente numerosos, son en realidad menos numerosos que otra familia común de números, los “reales”. (Este conjunto comprende a todos los números que pueden representarse como un decimal, incluso si la representación de ese decimal es infinitamente larga. Por ello, el 27 es un número real, lo mismo que ?, o 3.14159…).

De hecho, Cantor demostró que existen más números reales empaquetados entre el cero y el uno que el rango completo de los números naturales. Logró hacerlo mediante una contradicción lógica – o reducción al absurdo: asumió que estos conjuntos infinitos tenían el mismo tamaño, y luego realizó una serie de pasos lógicos para encontrar un defecto que trastocase esta suposición. Razonó que si los naturales y su subconjunto de reales del cero al uno, tuviesen un número igual e infinito de miembros, podría establecerse entre ambos conjuntos una relación de uno a uno. Es decir, que los dos conjuntos se podrían emparejar de modo que cada elemento de un conjunto tendría un – y solamente un – “socio” en el otro conjunto.

Pensad en ello de este modo: incluso en ausencia de un conteo numérico, las correspondencias numéricas de uno a uno pueden emplearse para medir los tamaños relativos. Imaginaos dos cajas, una con manzanas y otra con naranjas. Extrayendo una manzana y una naranja simultáneamente a cada movimiento, si los contenidos de ambas se acaban a la vez, el número de frutas en cada caja es igual; si las frutas de una caja se acaban antes, significa que en la otra caja el número de frutas es mayor.

Por esto, Cantor asumió que los naturales y los reales entre el uno el cero estaban en esta clase de correspondencia. Cada número natural n, tenía por tanto un socio real rn. Luego los reales podían listarse en el orden de su correspondiente natural: r1, r2, r3 y así sucesivamente.

Después Cantor comenzó a mostrar su lado astuto. Creó un número real, llamado p, mediante la siguiente regla: hágase un número ubicado n puestos detrás del punto decimal en p, tal que sea distinto al número en esa misma posición decimal en rn. Un simple método binario sería: elíjase 0 cuando el dígito en cuestión es 1; de otro modo elíjase el 1.

Por razones de demostración, digamos que el número real (r1) emparejado al número natural 1 es la componente decimal de ? (0,14159…), el (r2) emparejado al 2 es la parte decimal del porcentaje de votos recibida por Bush en el 2000 (0.47868…), y el (r3) asociado al 3 es el famoso porcentaje de 400 bateos conseguido por Ted Williams desde 1941 (0.40570…).

Ahora vamos a crear el p siguiendo la regla de construcción de Cantor: el número de la primera posición decimal no debería ser igual al existente en la primera posición decimal de r1, que es 1. De este modo elegimos el 0, y p comienza así 0,0… Luego elegimos el número en la segunda posición decimal de p, que no podrá ser igual al de la segunda posición decimal de r2, que es 7 (elegimos el 1 y p = 0,01…). Finalmente, elegimos el dígito en tercer posición decimal de p de modo que no sea igual a la correspondiente posición decimal de r3, que es 5 (elegimos de nuevo 1; p= 0,011…)

Continuando hacia abajo con la lista, este método matemático (llamado “diagonalización”) genera un número p entre cero y uno, que por su construcción difiere de todos y cada uno de los números reales de la lista en, al menos, una posición decimal. Ergo, no puede pertenecer a la lista.

En otras palabras, p es un número real sin un socio natural – una manzana sin su naranja. Por ello, la correspondencia uno a uno entre los reales y los naturales falla, ya que simplemente hay demasiados reales – “son incontablemente” más numerosos – lo cual hace de algún modo que el infinito de los reales sea mayor que el infinito de los naturales.

“La idea de que algo pudiera ser ‘más grande que el infinito’ supuso realmente un logro”, comenta Stanley Burris, profesor emérito de matemáticas en la Universidad de Waterloo en Ontario. “Teníamos el principio aritmético, pero a nadie se le había ocurrido hacer una clasificación interna del infinito; antes de eso simplemente pensábamos en él como un único objeto”.

El matemático Joseph Mileti, del Darmouth College añade: “Cuando oí hablar por primera vez acerca de este resultado y finalmente pude verlo, definitivamente fue algo que golpeó mis sentidos. Es uno de esos resultados cortos, dulces, y realmente sorprendentes”.

Traducido de Strange but True: Infinity Comes in Different Sizes (Scientific American).

Más información (en castellano) sobre la demostración de Cantor por diagonalización aquí.

53 Comentarios

  1. 41 Axel Axel 9 Ago 2007 0 (0 Votos)

    me he aficionado a este blog, tenngo 15 años

    y como este post hay cosas de las ke no entiendo ni papa, alguien podria explicarmelo un poco “posfavor”?

  2. 42 dnadev dnadev 15 Ago 2007 0 (0 Votos)

    Veamos, esto me alegra mucho :-D. Una vez se lo plantee a un profesor de la Universidad y me trato de loco o estúpido, ahora tengo con qué defenderme xD. Le había hecho una comparación parecida, pero no tan compleja y “demostrable” como la de este señor.

    Dos cosas, entre ellas los números y el TAMAÑO, son iguales si A=B y, por muy obvio que parezca, B=A.

    Tenemos 2 conjuntos, los Enteros y los Reales.

    Ahora hagamos la relación entre ambos conjuntos:
    “A cada elemento del primer conjunto le corresponde un número cualquiera del segundo”

    De esta manera podemos asociar a cada valor x del primer conjunto con otro valor x del segundo conjunto.

    1) Si tenemos que asociar a cada elemento de A (Enteros) un elemento de B (Reales) “no hay problema”, ya que:


    -100000000000 se relaciona con -100000000000
    -99999999999 se relaciona con -99999999999
    -99999999998 se relaciona con -99999999998

    -3 se relaciona con -3
    -2 se relaciona con -2
    -1 se relaciona con -1
    0 se relaciona con 0
    1 se relaciona con 1
    2 se relaciona con 2
    3 se relaciona con 3

    99999999998 se relaciona con 99999999998
    99999999999 se relaciona con 99999999999
    100000000000 se relaciona con 100000000000

    Es decir “cada número Entero está ocupado o en pareja con uno real”.

    El problema surge cuando hacemos “la vuelta” (como un “si y solo si” de Álgebra), es decir, si queremos hacer lo mismo entre los Reales y los Enteros.

    2) Veamos si cada elemento Real está “ocupado” con un elemento Entero:


    -100000000000 se relaciona con -100000000000
    -99999999999 se relaciona con -99999999999
    -99999999998 se relaciona con -99999999998

    -3 se relaciona con -3
    -2 se relaciona con -2
    -1 se relaciona con -1
    0 se relaciona con 0
    1 se relaciona con 1
    2 se relaciona con 2
    3 se relaciona con 3

    99999999998 se relaciona con 99999999998
    99999999999 se relaciona con 99999999999
    100000000000 se relaciona con 100000000000

    Si estos puntos supensivos se extienden por el infinito, entonces los números reales sin decimales están “ocupados” con un número entero. Es como si se “terminaron” los números enteros.

    Entonces, ahora…¿ Con quién se ocupa o se asocia el 1,1? Como los números enteros ya están ocupados (por 1 y 2), cualquier número decimal carece de pareja o socio. Entonces los Reales ya son “más” que los enteros en al menos 1 elemento, pero como entre 2 números enteros cualesquiera existen infinitos números reales, el conjunto de elementos de los reales está formado por una cantidad infinitamente “mayor” a la cantidad de elementos de los enteros.

    Esa es una manera mas “tosca” de explicarlo creo yo.

    También se puede explicar con frutas:

    Tengamos en cuenta entre 0 y 1 hay infinita cantidad de números, así también entre 1 y 2, entre 2 y 3 y así…

    Supongamos que dos personas José (Enteros) y Pedro (Reales) tienen 2 canastas y tienen que meter manzanas dentro de ellas.

    Las canastas están vacías, es decir están en cero. Entonces si José pone la primer manzana en su canasta, Pedro pondrá infinitas manzanas. Cuando José pone la segunda manzana, Pedro pone otras infinitas manzanas. Y así infinitamente. No es necesario imaginarnos a José y Pedro metiendo manzanas durante toda la eternidad, ya con suponer que José puso 3 manzanas…¿Cuántas manzanas habrá metido Pedro? Pues la diferencia es enorme, es realmente infinita.

    Bueno, espero haber podido explicar con claridad el tema. De todos modos, es una simple explicación dinámica, no demuestra nada (creo xD).

    PD:MUY interesante el Blog. Directo al Marcadores de mi Konqueror ;-)

  3. 43 alex alex 24 Ago 2007 0 (0 Votos)

    la verdad es que de demostraciones matemáticas no sé, pero por lo que entiendo y con base en lo que he leído (desde russell hasta borges, quienes han estudiado el problema del infinito), en realidad la sola intuición de un infinito creciente, contrario a la clásica de un infinito estable, legitima la “infinitud” del infinito. si tenemos una caja con números pares y la otra con todos los naturales, parece obvio imaginar que en la segunda hay lo doble, pero igualmente nunca terminaría con ninguna caja. russell (basado en las paradojas de zeón) afirma que si podemos intersectar una recta con otra y luego la recta resultante con otra, podemos tener infinitos puntos en cada recta, no importa el tamaño: una línea de 10 centímetros es igualmente divisible infinitamente que la órbita completa del planeta tierra. esto no complica la idea del infinito: la aclara. el infinito no es estable, por el contrario: infinitamente creciente.

  4. 44 vero vero 28 Ago 2007 0 (0 Votos)

    Tengo una pregunta para mi tarea si alguien la sabe diganmela pronto porfa! esta es la pregunta… Los numeros negativos son numeros naturales?

  5. 45 ildefonso ildefonso 8 Oct 2007 0 (0 Votos)

    Veo que casi nadie a entendido nada.A ver,IN tiene un tamaño,se puede enumerar consigo mismo y claro,cualquier funcion g:IN–>Q biyectiva es numerable,ya que
    el recorrido de estas funciones es numerable.¿Pues donde esta el problema?Se puede construir una funcion de IN a Q inyectiva que enumere totalmente a Q.Luego Q tiene cardinal igual a IN.Segun la rama del analisis matematico,la topologia,Q es denso en IR lo que implica que entre dos reales existe un racional y viceversa.Pero no existe una funcion de IN a IR biyectiva,que si no os habeis dado cuenta,es la piedra angular de las demostraciones de Cantor para demostar la cardinabilidad de IN,Z y Q.La clave es encontrar funciones biyectivas entre IN y el conjunto que queremos comparar.Asi,no existe tampoco una funcion biyectiva entre IN y P(IN).Esto que quiere decir?Que el numero de subconjuntos de IN es mayor
    que IN.Osea,que card(IN)

  6. 46 Jaime Jaime 12 Oct 2007 0 (0 Votos)

    Estimados estudiosos, los felicito por el buen trato que se dan en este blog.

    Yo no soy un matemático, al menos de acuerdo a su definición estaándar, poresa razón es muy difícil para mi pensar en que las cosas son absolutas y estáticas.

    El Universo (lo de afuera), todo lo que vemos y palpamos contra toda inmensidad de nuestro propio sentir y pensar ¿Qué es más infinito?

    Soy ingeniero en el área de los negocios, y desde mis pimeros años de estudio de mi carrera me llamó la atención, de que la base de la fuerza de un sistema se basa en en que la suma de sus partes es mayor que la de sus partes por separado.

    Amigos para mi el infinito es una forma de expresar aquello que aún no podemos imaginarnos aún. Ahí radica lo bello del razonar y por eso los felicito, cuando nos expliquemos el infinito o eterno, conoceremos a Dios y viviremos con Él.

    Les dije no soy un matemático como se entendería normalmente, pero estoy convencido de que en la medida de que nuestro entender mejore, podremos descubrir nuevas herramientas matemáticas o de cálculos para expresar aquello que ni siquiera podemos imaginar.

    Em mi país, Chile, hay un programa de TV que se llama La Belleza de Pensar. Por favor, sigan adelante meditando y pensando estas cosas. Den cabida a lo inimaginable en sus mentes, si lo hacen, podrá ver que estamos sujetos a leyes que han sido diseñadas para esta esfera. Sólo con sus mentes podrán salir de esta esfera para ver que hay más allá…..¿del infinito? Es muy posible.

    Un a brazo, éxito !!!!!!!!

  7. 47 Jaime Jaime 12 Oct 2007 0 (0 Votos)

    Amigos quisiera abundar un poco en mi reflexión anterior.

    Me parece de por sí extraordinario que Cantor pudiera, primero imaginar la posiblidad de crear u organizar un número inexistente como el “rea P”. No estoy en posición de cuestionarlo, pero, me doy cuenta que es una piedra en el zapato para muchos ortodoxos o conservadores de las matemáticas y las ciencias.

    Ahora, el hecho de pensar en lo inimaginable (P) y después formular el pensamiento, me parece sencillamente extraordinario. No estoy diciendo que la formulación es correcta, pero sí creo que el hecho de sentir o filisofar sobre un sentimiento o percepción y después tratar de demostrarlo empíricamente o teóricamente, me parece de una validez extraordinaria. Creo que la fortaleza de las pruebas teóricas o empíricas, se basan en la mejora contínua de estos cálculos y pruebas.

    Razonando lo pequeño o infinitesimal. Alguien en algún momento demostró u organizó el “cero”, posiblemente por mucho tiempo el Hombre vivió sin tener la necesidad de formular o representar la “nada”. Mi pregunta es: ¿Que es más difícil? Comprender la existencia numerica de la “nada”, es decir “cero” o llegar a calcular los límites inimaginables de la existencia de cualquier cosa, incluídos nosotros.

    Bajo mis creencias o pensando en lo inimaginable, la “nada” no existe, sin embargo es posible demostrar matemáticamente que el “cero” existe.

    Amigos, no será que los conceptos de la nada e infinito, lo estamos aplicando en un contexto que no corresponde. Porque, lo increíble de todo esto es que el “cero” es la representación de algo infinitamente pequeño. Bueno la otra pregunta es ¿Qué tan pequeño?

    Entiendo como materia básica de cálculos, qué se entiende por “tender a cero” o por “tender a infinito”, es decir, tiende sin que jamás llegue a cero o a infinito.

    Es fácil de comprender, tal vez la tendencia al cero. Uno puede decir jamás voy a ser nada, por que lo conozco, es cero.

    En el caso del infinito, jamás lo hemos calculado, pero afirmamos que algo puede tender al infinito. Ahora ¿cómo puedo tender al Norte si no lo conozco?

    Por esta razón creo que el infinito es mensurable, en estos momentos la única medida que conozco, es el término “Más allá”.

    Ya en los círculos científicos se habla de los posibles límites del Univrso, por supuesto sin mayor explicación, algo muy difuso. Esto es bueno, porque la abundancia de conocimiento es tal en la actualidad, que los pensadores están saliendo a pensar más allá de lo “logico”, talvez, de la caja mayor

    Hasta hace muy poco se hablaba del “vacío” del espacio, incluso al extremo de decir que entre los objetos celestes existía la nada, sin embargo hoy sabemos que esas áreas están ocupados por materia y energía oscura. Antes era nada, cero. ¿Cuál fué la fuente del error del cálculo? Las herramientas de cálculo y observación.

    Alguiendijo por ahí en este Blog, tal vez debamos repensar las matemáticas.

    Me gusta la idea de pensar en lo inimaginable, porque al final, siempres nos damos cuenta que lo inimaginable eran cosas que estaban esperando ser descubiertas.

    Quebrar los esquemas (paradigmas), nos permite volar, vivir con paradigmas sólo nos permite viajar por buenas carreteras, jamás mirar desde el cielo.

    Un abrazo de nuevo y no se desanimen.

    Jaime

  8. 48 Ignacius Ignacius 14 Oct 2007 0 (0 Votos)

    Ya que hablamos del infinito.
    Sabeis si hay alguna operacion matematica, cuyo elemento neutro sea el infinito.?

  9. 49 Jaime Jaime 16 Oct 2007 0 (0 Votos)

    No he visto una operación tal, hasta ahora.

    Creo que primero deberíamos ponernos de acuerdo a qué nos referimos como elemento neutro. No es que no entienda tu pregunta, es más que nada para saber si la formaulación matemática sería clásica o no.

    Me explico, un elemento neutro es aquel que al interactuar en determinada operación no altera el resultado, además cumple con la propiedad conmutativa. Lo interesante de esto, es que el elemento es distinto dependiendo de la operación, suma o multiplicación.

    Creo que para razonar una expresión matemática donde el infinito sea un elemento neutro, habría que determinar o descubrir el tipo de operación.

    Ahora desde mi punto de vista, el cual es que creo que el infinito es mensurable. Sólo que saber el valor del infinito, significa saber cuál es la frontera de nuestra esfera de existencia. Basado en ésto, es poco probable que el infinito pueda ser “neutral”

    Uno de tus colegas (alex) expresó que para él, el infinito es siempre infinito o sea estable. En otras palabras, segun él, infinitamente creciente.

    Ahora yo le pregunto a Alex, cómo algo inifito puede ser creciente. Lo único que puede crecer es algo que tiene una medida previa, es un parámetro con el cual te puedes medir. Ayer fuí, hoy soy más.

    Él (Alex), a pesar de que lo que afirmó es para decir que el infinito es no mensurable, con sus palabras afirma lo contrario.

    Por eso que mi concepto del “más allá”, tiene que ver con esto que hablamos, el infinito de nuestra esfera, es el comienzo de otra mayor.

    Pra algunos nuestra esfera es este universo. Amigos les aseguro(sólo como intuición), que este universo tiene límite, ese es nuestro infinito.

    Entonces, de cuál infinito estamos hablando. De éste que ni siquiera imaginamos o de los otros infinitos con leyes diseñadas especialmente y que no hemos descubierto.

    Saludos.

  10. 50 johana johana 6 Mar 2008 0 (0 Votos)

    hola soi johana y queria saber una pregunta que me dieron en el cole pero entre a todas las paginas que pude y no encontre nda la pregunta era:
    por que decimos q el universo es infinito??
    o……… cual es mas grande (ordenar de mayor a menor)entre:
    sol-tierra-via lactea-el brazo de uron-etc
    y no encontre nada yo les queria decir que agreguen cosas sobre esto a esta pagina o que armen una nuev con algo de eso por fabor .

    desde ya muchas gracias.

    Johana

  11. 51 Mr. TAS Mr. TAS 14 Abr 2008 0 (0 Votos)

    buena lección.
    prometo venir más a clase… XD

    en serio, muy iteresante. nos vemos

  12. 52 Dieguin Dieguin 19 Feb 2009 0 (0 Votos)

    Pues a mi me parece que se puede ver con un ejemplo muy sencillo.
    Si se lanza un dado infinitas veces, el número de veces que salga 6 ( o cualquier número) es infinito, pero el numero de veces que lanzas el dado es mayor.

    • 53 nphes nphes 5 Ago 2009 0 (0 Votos)

      Dieguin tu respuesta me parecio extremadamente simple pero sorprendente, un adulto lo pasaria de frente tal vez un niño notaria lo encantador y extraño que es pero a decir verdad ya estoy muy grande me cuesta trabajo comprender el metodo de Cantor (la diagonalizacion) creo que necesito acostumbrarne a ello
      Saludos

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